Effectivement il n'est pas à la bonne place. Lorsque tu as créé le wordpress en un click (via softaculos ?) soit tu as du oublier d'enlever "wordpress" lorsqu'il te demande la destination du dossier, soit tu l'as ajouté alors qu'il fallait laisser le champ vite.
Tu as deux possibilités :
Si le blog est tout nouveau et il n'y a pas encore d'article (ou juste 3-4). Tu peux exporter tes articles (si besoin). Supprimer ce blog. Recréer le blog en 1 clic mais cette fois ci tu n'oublies pas de laisser le champ vide dans la destination/dossier des fichiers. Et enfin tu importes ta sauvegarde d'article (si besoin). Faudra juste réinstaller thème et plugin (quoi que, tu peux sauvegarder le dossier qui les contient avant suppression du blog et les transférer ensuite si t'en a déjà plein et bidouillé).
Bref c'est tout simple et pratique lorsque le blog vient juste de naitre. (Si tu as importé des images ou médias, penses à sauvegarder le dossier image avant suppression histoire de transférer ca).
L'autre solution (et je pense que c'est ce que tu as essayé de faire mais de manière incomplète) est de faire un transfère du blog sur la nouvelle adresse (donc celle sans /wordpress/). Pour ça, il faut aller dans les paramètres du blog wordpress pour annoncer la nouvelle adresse puis transférer tout le dossier /wordpress à la racine de ton hébergement. Vérifie bien ces étape sur le web il y a des tutos à ce sujet (édit : voici un tuto à ce sujet
http://wpformation.com/deplacer-wordpress-nom-domaine/), mais globalement ça devrait être ça et dans cet ordre (mon dernier transfère d'adresse web remonte à quelque temps) car dans l'absolu la base de donnée reste la même et à la même place, tu dois juste dire à wordpress qu'il a changé d'adresse (qui lui le dit à la base de donnée automatiquement) pour la version sans /wordpress/ ( = à la racine où tu as copier coller tout le contenu du dossier /wordpress).
Une fois que c'est bon, tu fais une redictetion permanent 301 de l'URL /wordpress/ à celle sans (dans le cas où tu as des articles dessus, mais ça ne semble pas être ton cas si je ne me trompe pas). C'est quelques lignes à mettre dans le fichier .htacces (il y a des tutos sur le web) ainsi ceux qui ont encore l'ancienne adresse seront redirigés automatiquement. Tu pourras ensuite supprimer le dossier /wordpress/.
P.s. : Il est évident qu'il faut toujours faire une sauvegarde avant de s'amuser à transférer ou bidouiller dans le blog.